数学的本质和意义是什么？

于01-30发布在栏目【经验】已阅0次

这个问题，莘莘学子当琢磨，理工学者须吃透。先给出我的答案，然后逐一解释，最后警惕走火入魔，共有七个标题。

数学的本质是——抽象思维，表现为三个方面：①代数抽象或统计方法、②几何抽象或微积分方法、③拓扑抽象或符号方法。

数学的意义是——应用工具，表现为三个方面：①作为逻辑思维的工具、②作为物理表达的工具、③作为设计制造的工具。

代数抽象，是统计思维的精髓

统计抽象，即不考虑样本个性差异，只考虑样本的共性特征，对样本进行统计操作，包括：统计总量、统计分组、统计分析、统计图表。

某类事物的存在形式是千差万别的，但他们的共性：都是相对独立的个体、个数、单位1。

看看：1个男人+1个女人=2个人；1个狗+1个猫=2个宠物；1个大黑狗+1个小花狗=2个狗；1个圣人君子+1个流浪狗=2个哺乳动物...

再看：1个电子+1个质子=2个粒子；1个地球+1个太阳=2个天体；1个伽玛线光子+1个红外线光子=2个光子...

显然：若干个单位1，就是“数”。毕达哥拉斯说“万象皆数”，统计是最基本的数学逻辑。

然而，形式逻辑≠数学逻辑，唯象思维≠数学思维，抽象事物并不存在。

悖论：白马非马，因为抽象的马不存在，没有个性的马不存在。

几何抽象，是微积分思维的精髓

微积分抽象：即把自然的曲线元素，变成人造的直线元素，把自然的漩涡元素，变成人造的圆弧元素。

物体的结构，都是不规则的椭球。植物的花粉与种子，动物的精子与卵子，微生物的孢子与泡囊，无机界的沙子与晶胞，太空中的尘埃与星体，可以做“球模型”的几何抽象。

物体的运动，都是不规则的流线。自然界不存在直线运动。指纹、年轮、神经、蛛网、海螺、河道、湍流、云涌......皆无纯几何轨迹。

然而，在这些缭乱走向中：当你截取相当小片段，它们就是一段圆弧；当你截取足够小片段，它们就成了一节直线。

无论多么杂乱无序的缭绕，都可以因为“片段→差分→微分”之几何抽象手术，变成极简的线与弧，变得规规矩矩而听由处置。这就是几何抽象的神奇魅力。

拓扑抽象，是符号思维的精髓

拓扑学或形势分析论，研究几何空间在连续改变形状后还能保持不变的共性或抽象性，通俗的讲，研究“万变不离其宗”。

拓扑抽象的主要指标有：连通性、紧致性/仿紧性、定向性、一致性、分离性。例如：就连通性：球面=平面≠环面；就定向性：曲面=平面≠莫比乌斯曲面/非定向性。

笔者的符号，是广义的形势，诸如模拟图形、表现形式、空间结构、流形样式。

拓扑抽象，在高科技充当重要角色，如：计算机图形学、超导超流技术、机器人仿生。详细资料请搜关键词＃拓扑学＃。

过分抽象，导致数学唯心主义

抽象，只是一种理念、范畴、智慧、技巧、工具、方式、方法，只能用来统计与模拟，不能强加于自然界的具体事物，不可过度消费抽象工具，否则会走向数学唯心主义的旁门左道。

现代物理学，大刮数学风，过度使用广义拓扑理念创造物理模型。例如：宇宙爆胀论、有界无限论、粒子零维论、纠缠超距论、平行宇宙论、高维弦理论，都不免有点走火入魔。

数学充当逻辑思维的工具

表现在数理逻辑，如几何证明、代数操作、逻辑运算、数学分析、数据结构、逻辑电路方面。

数学充当物理表达的工具

尤其表现在物理实验（包括化学实验）的定量分析、建立变量关系的解析式/公式/方程上。如果没有数学表达式，科研与八卦无异。

数学充当应用技术的工具

人类一切物质技术装备的设计与制造，都离不开数学工具与数学方法的支持。可以说，数学是技术的灵魂，尤其是超精细与高尖端的结构与程序设计更需要高级数学工具的支持。

物理新视野，旨在建设性新思维，共同切磋物理/逻辑/双语的疑难问题。

其他网友回答：

取决于不同人对于数学的认识，其实也是一个人的数学观。如果数学的本质和意义再具体些，换一种说法，那就是数学是什么？学数学是为了什么？我是王老师，致力于小学数学的精品问答！我想这两个问题，你问不同的人会得到完全不同的答案，作为一个知识体系，小初高的重要学科，数学教育的目的通过学习知识获得与年龄特点相适应的、必要的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；发展发现和提出问题、分析解决问题的能力；了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，具备初步的创新意识和科学态度。这其实就分了很多层次。

个人觉得数学思想是数学学习的精髓，思想创造方法，其意义在于提供给我们解决问题，理解世界的一种逻辑体系。

如果你觉得回答太空泛了，那就一起思考下我们学习数学的目的吧。

为了考入好学校，为了生存？还是锻炼思维，开发智力？还是学习算术技能？还是认识它的价值，去应用，创新服务生活？欢迎评论区讨论！

其他网友回答：

人类生产与社会生活、图形中，人与人类的发生、发展、进化有意义的事物的发生发展过程规律，与揭示事物发生发展规律的这种数量关系规律的科学。它有益促进人、人类社会、有一人类发展的事物的不断发展。是人类发展的生命线。

其他网友回答：

谢谢悟空的邀请。这个问题的回答大概只有像克莱因、亚历山大洛夫、彭加勒、希尔伯特这样的大数学家才能真正回答。想认真了解什么是数学，需读下亚历山大洛夫的《数学：它的内容方法和意义》，以及克莱因的《古今数学思想》。至于一般的了解，可以看一本数学史方面的书。

现代文明离不开数学，数学古老，而现今还焕发出异彩。可以讲数学是人的大脑的最高成就。

在古代的埃及、印度、古巴比伦数学是伴随农耕文明而诞生的，数学一开始就是为了解决社会生活的需要：记点食物，丈量土地，天文历法等。早期的算数、几何几乎都是具体的问题。智者把解答方法传下来，或做成计算表格，以备方便应用。这些知识是古代教育的必修科目，无论中国的六艺还是古希腊七艺数学知识都是重要的知识。

只有古希腊人第一个将数学知识变成系统的知识，最著名的便是欧几里得的《几何原本》。

谈到这里，我们来回答数学的本质和意义。

人类与自然界其余事物的区别在于，人是有意识的存在。而意识一直在无止境的发展。

数学是大脑对自然界万物的“数”和“空间”的抽象认识。宇宙无非就是“时空”，而”时空”都可以用“数”描述，因而毕达哥拉斯“万物皆数”，无疑就是数学深刻的本质。数学的本质即是“数”。

“数”是人大脑抽象出来的概念，它是有意义的吗？

“自然数”班里一共有多少人，书包里有几个本子，显然是有意义的；手中空无一物，可以记作“0”；借了小王100元钱，于是小王增加了-100元；测度正方形的对角线与边长之比，产生无理数√2，圆周与直径之比产生超越数π；复数开方产生虚数i，虚数的意义是平面坐标i=(0,1)；复数的几何表示是向量，空间向量不过是三维坐标；最后有四元数，这个在机器人描述时是必需的。有了数，便有变数、函数、无穷级数、极限、解析几何、微积分等等学科的产生

以上所讲都是在数学自身而言。下面我们谈一下，没有数学就没有现代科学技术。

牛顿的《自然哲学的数学原理》是第一个以几何学语言写的经典物理学著作。对开普勒三大定理给出几何学的证明，并推导出万有引力定律。麦克斯韦的电磁通论是用微分方程表达的。整个电磁学的全部奥秘就是在麦克斯韦方程组中。爱因斯坦的广义相对论的基础是非欧几何。等等。

各位也许以为上面太高大上，似乎数学与日常工作无关，那可就错了。

程序员要与算法打交道；电工天天生活在三角函数和向量的表述中（否则你连加减法都没法做）：控制工程师，天天脑子里都是拉普拉斯变换，他不会去接微分方程。可以说，所有的与工业、经济的技术工作都需要数学，没有数学，我们无法进入那些领域。

其他网友回答：

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数学是人类研究自然的产物和解决问题的方案，比如观察空间，就出现了几何维度的概念，有2维，3维（长宽高）甚至加上时间为4维的概念。人类观察事物的运动规律，比如光速，火箭运动等，就出现了微积分极限运动的概念。人类观察事物之间的关系和变化，就出现了代数，就是导入的未知数x来了解一个结构的变化关系。至于为什么最后要把未知数x变成阿拉伯数字来计算，那是因为我们需要量化的结果，也就是一个确定的数字，为我们生活中的各种任务起到决策和指导的作用。

数学之所以难，原因是你需要抽象的深度理解大自然事物的内涵，抽象之所以难，那是因为国人普遍教育的问题，很多学文科的实际上从小就没有接受过很多抽象概念的训练。比如你想要看书，你从小学习拼音，然后认识每个字的内涵，久了之后自然就会掌握基本的阅读能力，这中间虽然也抽象，但是抽象的较浅，一旦面对更深入的复杂化数学抽象，任何所谓难理解的东西都是太抽象化，很多人说看不懂哲学书，佛经等也是同样的问题，你的头脑本能的机制是拒绝理解，这时候你就会觉得很难，头痛等等，尝试几次后就会有放弃的想法。但是这个过程是大脑骗你的过程，实际上如果你了解大脑的运作基础，一些认知行为心理学，那么你就不会被它欺骗。任何复杂抽象的学习讲究的是坚持，基本功和学习方法。很多人会坚持，但是不知道怎么掌握基本功和学习方法，想用学习文科的头脑来了解数学的抽象，那么这个过程会是艰难的。因为你理解的背后逻辑是不太一样的。所以想要学习数学，我认为要先学习哲学，哲学背后的终极思想，比如辩证，什么是智慧，深入思考问题和最重要的逻辑学。数学的抽象背后就是逻辑学，也叫数理逻辑，它的逻辑思想叫演绎法，不懂的可以自己查查维基百科什么叫演绎法，三段论什么的。

我建议如果你想要学习好以上这些基本功，那么你必须阅读些有数学背景的和逻辑学方面的书籍，你才可以训练你的大脑尽可能逻辑和抽象化的思考问题，有了这些基础，系统的学习数学就相对简单多了。

那么为什么普通人想要学好数学却发现老师讲的听不懂呢？

这里面有2个问题要分析，听我娓娓道来。

1）你自己基本功不扎实的原因，如果没有很好的哲学思维，也就是理性和逻辑思维，那么你的大脑是很难消化这些抽象信息的。单只做到这一点，就需要大量的阅读数学基础类的知识，这也许需要好几年的时间，而且还因人而异，因为后面还有学习方法论，如果掌握了有效率的学习方法，那么学习知识的时间就会缩短。比如，我经历过10几年大量的阅读经验，几乎什么书都看，早年对宗教很感兴趣，做了很多这方面的阅读和思考。后来是阅读哲学，经济学，然后是数学。我掌握了很多怎么快速学习和记忆的方法，以前比如看一本商业的书大概要2个礼拜，现在大概只要3-4天，这里面就牵涉到一些怎么积极学习的方法论。当然，越抽象的书越难，要消化所花费的时间也就越多。

2）教你老师的问题。实际上，很多老师只是理解数学的理论，但是他们也许并不完全了解人类的大脑工作机制和怎么做好教育的问题。佛教地藏经的地藏菩萨有一句话是”地狱不空，誓不成佛，我不入地狱，谁入地狱”。这句话给我们的启示是你要了解众生的苦和众生的内心深处的感受。那么延伸到育人子弟，如果你不能做到将心比心，因人而异的感觉，你怎么可能教育好你的学生呢？也就是说不同的学生，他们的内心世界不太一样，理解的角度也不太一样，你需要更好的讲解这些抽象的概念，让他们能够理解到背后的精髓，能够举一反三。一般的老师讲解的方法偏向理论性的，也就是抽象的部分，没有深入基本功的学生是很难理解的。

那么怎样讲解才能让学生的大脑更愉悦的接受和理解这些抽象信息呢？

我认为最简单的理解和能够让大脑记忆的方法叫”连接记忆法”。你想想连接是个什么概念？你每天的吃喝玩乐你应该不会忘记吧，应该很容易理解吧！那是因为这些事情每天都跟你产生连接，它是一种直觉的直接感觉，你的大脑从DNA进化以来就记得它，它太熟悉了，所以大脑能够理解和记住它也不会感觉到头痛。那么在讲解抽象数学概念的时候，你需要用到的是类比法/比喻法等等。如果你熟悉古代大儒们怎么讲解一些难理解的概念，他们用的都是这些方法。比如佛陀，他经常用的就是方便法，因为要理解佛的法也很抽象，那么佛在讲解佛经的时候必须用比喻来让普通的大众能够理解到佛法的思想，他的思想总结就是要理解宇宙无常变化的因缘法。这些比喻教学用到的方法都是连接大众日常生活中熟悉的东西，让他们的大脑容易接受，然后自己以后再慢慢思考和悟到更深入的道理。如果你注意网上比较受欢迎的讲解知识类节目的主持人，实际上他们用的都是类比，连接的方法，让大众能够理解到较难的概念。比如，两性关系是刻印在我们人类DNA进化里面的，如果你把那些很难的知识点用两性关系类比法连接起来讲解的话，你会发现大众的接受度有多高，他们可喜欢呢！这就是为什么微博上每天热搜榜都会出现关于两性关系八卦话题的原因。

在这里我推荐几本书，自己读过受益匪浅，我自己学习数学的过程就是从阅读它的历史进程和研究它的抽象逻辑开始的。

数理哲学导论，西方文化中的数学，柯匹的逻辑学导论，数学是什么，一些数学理论历史发展的书籍等等。每一个数学理论的发展背后都有复杂的历史和研究价值，了解这些内容后才能更好的理解数学理论和公式背后的故事内涵。

还有，我是数学新手，不是大神，不懂的还很多。以下先说说我知道的一些数学基本抽象概念。

1。它不只是加减乘除，平方，开方等一般人买菜用到的基础运算法则。

2。任意数字/字母可以不涉及具体的内涵，它们涉及的是抽象和模拟推理。

3。推理需要定义公理，问题描述，限制等条件。

4。数是模拟大自然混沌并找出规律的一个过程，我们所说的量化通常在实际经济应用中才用到。有些研究只涉及纯粹的内容，比如数论。

5。数有不同内涵，性质等。比如整数，负数，实数，虚数，复数，有理数，无理数，奇数，偶数，质数，素数，代数，函数，极限等等很多不同数的定义，这些是研究数学规律的基础。

6。数是大自然规律的模拟，数学是研究这个学科发展过程的哲学理论。

7。数学是一切学科的基础，因为它可以靠大量统计，计算，模拟来量化得出相对靠谱的科研结论。

8。代数是对大自然未知结构的一种求解方法，它是几何的总称，它可以用任意字母代替。

9。函数是一种变化值的集合，记为f(x), 也可以用其他符号来表示。x输入任意值会等于相对的y值，公式为x+任意值=y，也可以画图来表示x和y的关系。

10。几何也就是我们大自然物体3维的概念，有长宽高。加上时间的话可以理解为4维。一般的几何有点，线，面，和角。它主要研究的是空间的区域关系以及度量。

11。圆的概念来自于人类对太阳和地球周转的观察，它是一种循环的概念。圆周率是无理数，它衍生出了极限的概念。

12。极限概念：它可以理解为大自然各种现象运动的力量，它是一种不断变量的关系，它的数的量化可以没有尽头，它衍生出来的学科叫微积分，它通常应用在不断变化的运动工程中，比如火箭发射的轨道运算等。

13。三角形：它涉及的是三角函数，它是研究角和边的关系，它也涉及和圆的关系，是一种循环的概念，称为周期函数。周期就是循环的意思，比如地球围绕太阳作圆周运动，开始为起点，到终点后又会碰到起点。也可以把三角看出一种方程，方程的意思是平衡状态。比如1+2=3，其中1是一个边，2是一个边，3是底边，3个边加起来就是一个三角形，它是一种互相平衡关系的状态。

14。碰到复杂的数学公式，普通人注意的是字母看不懂，从计算的角度思考问题，其结果是大脑难受而放弃学习。聪明人更在意的是这个公式的规律，而不是死记硬背，然后再来看每个字母的内涵，它属于哪个数学分支，了解了哪个分支后，在大脑里面再调出来那个分支的数据库来解答这个问题，最后理顺了关系，前因后果，才是运算。这后面涉及的理论思维很多，比如对数的哲学思维，历史观，分析推理能力，每个分支的了解，宏观思考，字母模拟内涵，各个击破等等。

15。想要学好高等数学，你的大脑要先宕机，后重启。要先忘记基本的加减乘除概念，从更高的哲学角度去思考人类发展出来这些理论的依据，以及当时的历史渊源等，这就意味着你必须阅读很多基础的数学历史的哲学书籍，来了解当时的数学家/哲学家怎么研究数学的前因后果，以及他们当时的分析思维等等。

很多人觉得某些少数人能理解高数，能解题就羡慕的不得了，觉得他们是学霸。但我却不这么认为，我觉得解题固然重要，它涉及的是应用层面的问题，但是更重要的是对数学这个学科背后整体思维的经典了解，因为它是一种抽象模拟大自然的过程，那么你可以把它运用到任何学科去，它是一种让你可以快速的学习和掌握其他学科的钥匙。一个人想要成为大师，那么他需要的能力是会举一反三，融会贯通，形成自己的思维体系，生产出新的知识以供后人乘凉。

16。一些人工智能的基本概念分析

未来是智能的世界，所以也许你还想要掌握这些未来的知识点。它实际上指的是深度学习的概念内容。想要学好这门科学，我还是觉得首先得理解哲学类的学问，原因是哲学是集大成的东西，掌握了这个底层心法，就掌握了学问和逻辑的本质，那么你学任何东西都会无往不利，也就是好处多多。

其次是理解一些高数的基本内容。你要掌握概率论，也就是统计学，因为很多算法得出来的结果是大数据统计的结果。虽然名字叫神经网络，其实在逻辑上和我们大脑的神经模拟没有太大的关系，原因是研究人的科学比这复杂多了，人类从古到今都在思考和研究人到底是什么，从而衍生出宗教，形而上学，哲学，科学，心理学等等。但是到目前为止还是没有完全搞懂人到底是什么？其次你要掌握的是微积分，就是研究事物极限运动/变化的一个极小值。还有一些对集合论的基本理解，一些对欧几里得几何空间线性变换概念的理解。最后就是线性代数，线性的大概意思是一个集合里面的元素以固定较小比例的值增加，元素互相之间形成一定比例的关系，画出线的话是直线，它假设事物的发展是线性的，也就是以较小比例变化的发展，而不是以较大比例变化的发展，比如平方后的值，它不是线性的。代数就是插入未知数x来研究这些元素互相之间的变化关系。深度学习最后的统计结果要了解的是不同维度数据之间的比例和关系，比如你要理解目前中国的通货膨胀是由什么引起的？那么你需要的维度数据参数也许是 1）美联储利息政策 2）目前的中美贸易战 3）美国和中国政府决策的比较结果，等等。这就是一个三维图和通货膨胀的关系。大多数的深度学习统计结果其实并不涉及真正的3D空间概念，而是对不同数据维度之间的关系和比例的量化分析。