复数的本质是什么？
复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久, 一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary), 直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动, 才被数学家们渐渐接受.
确实理解复数确实需要一点时间, 不过它并不复杂, 而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形, 这次让我们用图形可视化的方式来拥抱这个概念.
复数, 作为实数理论的延伸
先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算. 观察到红蓝两个点(数), 在不同的计算下, 其结果(绿点)的变化, 不管数怎样变化, 都总还落在数轴上(除法分母为 0 时候, 当然没有意义).
再来看下图中, 任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上. 所以乘以 -1 的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈.
数学家进一步思考, 既然乘以 -1 是转动 180°, 那么只转动了 90° (比如整数 1 )落在哪里? 有什么意义呢?
进入新的二维复数平面
这是19世纪数学史上非常重要的一步, 现在不在是在一维的实数轴上, 而是进入了二维的复平面.
考虑到转动两个 90° 会刚好到 -1. 所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转(也就是 1*i*i=-1), 这样在平面上与实数轴垂直的单位线段, 称为是 1 个虚数单位 i . 于是有着性质:
这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane, 或称为阿尔冈平面)上了, 所有在复平面上的数都满足 z=a+b i 这样的结构, 称之为复数. 其中a 称为实部(real part), b 为虚部(imaginary part). 如下图 1+2i 复数, 1 和 2 是实数, i 是虚数单位, 这样的复平面几何表示如下图所示:
现在来看直角坐标平面是二维的, 需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置, 但现在用一个复数就够了, 可以用实数组(a,b)代表这个复数, 并且可以在复平面上绘制出来. 不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数, 而不是一对实数.
还有三个新概念需要知晓:
复数的模(modulus, 通常写为 |z|) : 模就是它长度 r: 从原点到 z 点之间的距离
辐角(argument, 通常写为 arg(z)): 辐角 φ 就是与实轴的夹角
复数的共轭(conjugate,通常写为 ¯z): 共轭就是 a-b i 的形式
观察下图可以更好理解上述三个概念:
复数的运算操作
复数有如何运算, 比如可以两两相加, 也就是两个复数实部和虚部分别对应相加, 可以看成是平移的操作.
复数也可以有数乘运算, 就是对模的放大或缩小了:
复数的乘法, 就如上面所述, 数乘以 i 相当于这个转动 90°:
z1*z2 两个复数相乘其实就是旋转+伸缩两种变换, 也就是两个复数的模相乘(伸缩大小), 辐角相加(旋转量).
如果对图片中的每一点做复数运算的变换, 可以得到各种有趣的平面变换图像. 这里为了纪念欧拉大神, 就以他老人家头像为例, 比如做乘以 2 i 的函数变换 - 旋转 90°, 同时放大了2 倍的变换; 另一个变换函数为三次方, 你也可以思考为什么会变成这个形状呢? :-)
最美的数学公式 - 欧拉公式
复平面内的点可以转成极坐标(不清楚可查看这里)的形式 (r,θ), 那么该点所表示的复数是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来转化到笛卡尔坐标. 所以极坐标 (r, θ) 表示复数
z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).
特别的, 如果 r = 1, 则 z = cos(θ) + i sin(θ).
形如 r e^(i θ) 的复数为极坐标形式, 并且与之相对的 x+iy 为笛卡尔形式. 1743 年, 瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式, 对所有实数 θ 都成立:
特别当 θ=π 时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:
这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数: 0, 1(自然数的基本单位), e(描述变化率的自然指数), π 以及 i(虚数的基本单位).
我们可以很快用几何的方法来证明该等式, 观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ, 请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为 180°, 点落到等于 -1 的时刻), 相信就会理解上面的欧拉等式:
参考资料:
阿德里安·班纳, 《普林斯顿微积分读本》(修订版)
https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
维基百科
(完) [遇见数学] 制作
其他网友回答：（小石头来尝试着回答这个问题）
复数出现的原因，大家都知道，是为了让方程：
有解。
为了达成这个目的，我们需要寻找一个新的数字 i，使得 i² = -1 ①，并且 i 还可以参与四则运算（加、减、乘、除）。
显然，这个 i 不是一维直线（记为 ℝ）中的任意实数，于是 将眼光 投入 二维平面（记为 ℝ²）中的某个向量 a = (x, y)。
为了让 a 看起来像是一个数字，从而可以作为 i 的候选者，我们需要让 向量 具有类似数字的四则运算的能力。
在《解析几何》中，已经定义有向量的加法（设，b =(u, v) ∈ ℝ²），
a + b = (x + u, y + v)
然后，利用 向量的数乘（设，λ ∈ ℝ)，
λa = (λx, λy)
可以定义 a 的负数，
-a = (-1)a
而减正就是加负，
a - b = a + (-b)
关于向量的乘法，在《解析几何》中 定义有，
- 点乘（内积）：a⋅b = xu + yv
- 叉乘（外积）：a×b = (xv - uy) k （k 是 垂直于 平面 ℝ² 的 单位法向量）
观察 实数 ℝ 中的乘法，有 a,b ∈ ℝ ⇒ ab ∈ ℝ，这称为运算的封闭性。
而，显然 点乘（结果是实数 ∈ ℝ） 和 叉乘 （结果是三维向量 ∈ ℝ³） 都不具有 封闭性，不能当做向量乘法！
不过，我们可以结合 点乘 和 叉乘，尝试定义向量乘法：
ab = (a⋅b, a×b⋅k) = (xu + yv, xv - uy) ②
这个定义具有封闭性，如果，还能在该定义下，找到 满足要求 ① 的 向量 i，那么我们就可以正式采用这个定义了。
我们不妨将 平面中的 X轴 设为 ℝ，这样 任意 实数 a 就对应 向量 (a, 0)，即，
a = (a, 0)
其中，
-1 = (-1, 0)
另一方面，因为 i 不属于 X轴，所以 可以考虑 让 i 属于 Y轴，于是 i 与 Y轴 中的 某个点 (0, b) 对应，即，
i = (0, b)
使用 乘法定义②，再结合对于 i 的要求 ①，有，
i² = ii = (0, b)(0, b) = (00 + bb, 0b - b0) = (b², 0) = (-1, 0) = -1
显然，还是因为 b² ≠ -1，使得 在 ② 下 没有满足 ① 的 b，于是，我们需要对 定义 ② 进行改进。其实，我们仅仅需要交换 ② 中的 加减号位置，即，
ab = (xu - yv, xv + uy)
就可以，得到：
i² = (00 - bb, 0b + b0) = (-b², 0) = (-1, 0) = -1
这时，由 -b² = -1 ，解的 b = ±1，OK！
不妨设 i = (0, 1) ，于是 我们找到了满足 ① 的 i，这说明，调整后的定义有效，我们把它作为乘法的定义！
若，令 ā = (x, -y) 则，乘法定义为：
ab = (xu - yv, xv + uy) = (xu + (-y)v, xv - u(-y)) = (ā⋅b, ā×b⋅k) ②'
这里 ā 和 a 关于 X 轴对称，称 ā 为 a 的共轭。
注：很容易 从 共轭 得到 a 关于 Y轴的 对称 (-x, y) = -(x, -y) = - ā 。
有了乘法定义，我们就可以定义除为乘以倒数，即：
a/b = ab⁻¹
倒数 a⁻¹ 具有性质：
aa⁻¹ = 1
而，
aā = (x² + y², xy - yx) = (x² + y², 0) = x² + y² = a⋅a
可见，
a⁻¹ = ā/(a⋅a)
到这里，ℝ² 中的 向量 就具有了 四则运算能力，可以当做数字，称为 复数，同时，将 ℝ² 记为 ℂ，称为复平面，X 轴依然称为实轴，其中的点 就是 实数，而把 Y 轴称为 虚轴，其中的点 称为 虚数。
在数学上，ℝ² 也称为欧氏（向量）空间，其中向量本来就具有 加减运算，而 除法是乘法的逆运算，因此，以上 让其 变为 ℂ 的 主要工作是定义乘法，故，我们有，
小结论： 复数的本质就是定义了乘法的欧氏空间 ℝ² 中的向量。
对于 ℂ 中的任意 复数 z = (x, y)，利用前面推导的结论，有，
z = (x, y) = (x + 0, 0 + y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y0, y1) = (x, 0) + y(0, 1) = x + yi
这就是，我们熟悉的 复数一般表示，i 称为 虚单位。其中，x 和 y 分别称为 复数 z 的 实部 和 虚部，有，
x = Re(z) = (z + ż)/2
y = Im(z) = (z - ż)/(2i)
注：其实，1 = (1, 0) 和 i = (0, 1) 是 ℂ = ℝ² 的一组标准正交基，任何 一个 复数 z = (x, y) 都可以线性表示为：
z = x1 + yi = x + iy
这说明，复数一般表示，就是向量的线性表示。
将 复数 z 对应 向量 的长度 称为 复数 的 模，记为 |z| = √(z⋅z) = √(x² + y²) ，将 向量 和 X 轴正方向 的 夹角，称为 辐角，记为 Arg(z)。
若，令，r = |z|, θ = Arg(z) ，则 z 为：
z = r(cos θ, sin θ)= r(cos θ + i sin θ) ③
这就是 复数的 三角表示。
又设， w = s(cos φ + i sin φ) 则，根据《三角学》知识 有，
zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ - sin θ cos φ, i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))
可见，复数乘法的 几何意义是 ④：模相乘，辐角相加。
另一方面，根据《高等数学》迈克劳林公式：
有，
进而，得到 欧拉公式：
再和 ③ 处连等，有，
这就是 复数的 指数表示。
验证，乘法：
依然符合 结论 ④。
于是，我们得到 结论：
复数的本质就是 欧氏空间 ℝ² 中的向量，定义了，模相乘辐角相加，的乘法 从而 升级而成的数字。
复平面 ℂ 本质就是 欧氏空间 ℝ² 中定义了 乘法运算， 实单位 1 = (1, 0) 和 虚数单位 i = (0, 1) 本质是 ℂ 的 标准正交基，复数 z = x + yi 本质就是 向量的线性表示。
最后，回到开头，复数的出现，使得：
（一元）多项式方程，必然存在 一个复根
这就是 代数基本定理。
（这是一个开放性问题，不同的人对复数的本质有不同的理解，数学家会给出非常深奥的答案，而小石头只能在数学的浅滩潦草的勾勒一些浮沙，大家见笑了！各位聪明的条有大家有什么高见呢？）
注：更深奥的答案是存在的，比如，
称 ℂ 为复数域，它是 实数域 ℝ 的 扩域，是 一个代数闭域。
其他网友回答：答：复数的实质是在卡尔丹公式（i平方＝一1）中产生的，是对实数的拓展。复数域使得实数域内对加减乘除及乘方开方六种运算的不封闭问题得以解决。即实数拓展到复数域后，六种运算是封闭的，负数就可以平方了。
复数的产生，虽然是虚拟的，但解决了生产实践中的很多很重要的问题。正如数学的每一次发展都极大的推动科学、生产、社会的进步一样，复数产生与完备促进了数学的发展，更促进了人类社会的发展！
其他网友回答：我来说点不一样的吧。
复数的本质是什么？首先要理解数学的本质是什么！
那到底什么是数学呢？数学就是人类按照自己的想法，发明的一套，希望更方便、更量化的描述这个世界的工具。
这里面有几个关键词。第一，它是发明而不是发现；第二，它是种工具。这就是数学，很多时候，我们是在运用数学这种被发明的工具去分析万物，比如说，你在量尺寸的时候用到了实数，那实数的本质是什么呢？其实对于它本身，没有任何内涵，而是你在用到它的时候赋予了它内涵，它并不是本来就客观存在的，而是被人类发明的一种工具。所以，复数的本质是什么？其实复数本质也就是一种被发明的工具，它本身并不代表什么，更不是客观存在。
第三个关键词，量化，但是这个词很好理解，这里就不多说了。第四个关键词是方便描述世界。没错，事实就是这样的，你如果不发明实数，那那些不是整长的长度就很难甚至不能被描述，因此在这种需求下就发明了实数来描述这种事。更进一步，假如有一天，我们遇到一个多维度的问题呢？比如xy坐标系，当然，我们用实数也许也可以描述清楚，但是可能遇到类似于这种问题的更复杂一点的问题，仅仅使用实数就可能更难的去描述好这件事，所以我们就发明了复数，并制定一套基本的规则，目的就是试图更有效的来理解这类事。这也就是复数，为了更方便的描述某类事的一种被发明的工具，仅此而已。
另外，发明一套复数有很多种思路，可以发明成完全独立的一套体系，也可以发明成趋向于原有实数体系的一个扩展，等等。这里，我们显然看到，现在所发明的复数，属于后者，并定义i方等于-1与实数体系取得联系。但是不管怎么样，这也只是种选择而已，再次强调，它不是本来就这样，不是客观存在的。
剩下的问题就是，什么时候会用到复数，而不是什么东西满足复数的规则。因为世界本身的规则是不可更改的，我们所做的只能是不断改进自己的的“工具”来迎合客观规律（其实也是人主观的认为）的需要。然后人们就发现了若干问题可以用复数进行描述，并且用复数描述会更方便！这也反过来验证了当初制定复数这套规则的合理性！所以到了后来大家就以为复数是世界的某种实际存在的规律，但事实并非如此，因果逻辑颠倒了。
其他网友回答：复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。想理解复数的本质的从为什么出现复数谈起：
所有的数的诞生都是和人们生产生活需要分不开的，复数也不例外。数的分类见下图
当人类在实数范围内不能解决所有问题的时候，就只能超越实数范围去寻找答案，复数就诞生了。
例：把8分成两部分，使它们的乘积等于20时。
这个问题在实数范围内就是个无解的答案。但是要在复数范围内就可以把8分成这两个部分：
4+√-2和4-√-2两个部分，（4+√-2）+（4-√-2）=8 （4+√-2）×（4-√-2）=20。
同理√-2在实数范围内也没有意义，那么就诞生了虚数：i² = - 1 那么√-2=-2i。
复数的实际意义：首先，我们建立一复数坐标，横轴单位为实数1,纵轴单位为虚数i。(1+i)×i的意义是什么呢？如下图:(1+i)×i=-1+i 从下图可见×i的实际意义就是把一根直线，逆时针旋转九十度，但是长度不变（乘以其他复数还可以使长度改变）。
所以复数的实际意义之一：就是旋转。当然还有更多的实际意义，比如物理上的实际意义就不在这里赘述，更多更好玩的黑科技敬请关注头条号——时间隧道5
一.在数学上的意义
1）虚数i的定义是i^2=-1。它的引入将二阶多项式求根公式统一，而不用根据判别式的正负零分成三种情况。对三阶或四阶多项式求解仍是形式统一的。
2）de Moivre用复平面表达复数，加法变成向量和，而且引入幅角（t）和模（丨z丨）后有
z=|z|(cos t + i sin t)。
3）欧拉利用泰勒展示得到数学公式：
e^{it}=cos t +i sin t。
这经常称为最漂亮的数学公式。
4）一个n阶实多项式有几个实根？问题很困难。但高斯证明它一定有n个复数根。所以可以对它进行因式分解。
5）一个交换域是指对可交换的四则运算封闭的集合，常见的有：有理数域，实数域和复数域。其中有理数域不完备（中间有无数个空）。
上世纪初数学家证明完备的可交换域只有实数域和复数域。
6）依赖于一个复变量的函数，一旦可导，则一定有泰勒展示，即是解析函数。由Cauchy和Weierstrass发展的解析函数论含有数学上最经典漂亮的公式, 例如应用极广的留数公式, Cauchy公式等等。这个数学上最强有力的工具解决了素数基本定理（Hadamard），二维伊辛模型的相变温度(Onsager，诺贝尔奖)，甚至在陈景润的哥德巴赫1+2猜想的证明中也是关健工具。
这个领域留下的黎曼猜想是数学上最难最深刻的猜想。
7) 多复变函数论。我国华罗庚先生是此领域的开创者之一，建立了典型域上的调和分析。
8) 付里叶变换。
二。在物理和工程上的应用
1）一个粒子在量子力学中既是粒子又是波，用文字刻画很费劲还不讨好。用数学语言来讲它是一个取复值的波函数，由Schrodinger方程决定它的随时间演变。
因此复数是微观世界描绘的基本工具。
2）只要描写波动，例如光，电，波，那么sin和cos函数就是基础，而用欧拉公式可简化为e^{it}。所谓的光谱仪，观察宇宙射线... 都是在使用付里叶变换。所以复数在工程上也是应用广泛。
3) 很多二维的数学或物理难题是用复解析函数论解决的。已经有好几个Nobel奖和数学的菲尔兹奖。
总结：人类思维创造的虚数i居然有如此之多之大的应用，估计开创者都沒想到。复数进入中学课本就说明了它是人类知识体系不可或缺的基础之一。
其他网友回答：浏览了一下，前面的各位说得都很好，有的是从数学史角度，有的是从高等数学视角，还有一位从古典哲学角度说实部虚部就是阴阳。我来补充一下。
对小学数学来说，复数就是二元有序数组。
对初中数学来说，复数是不存在的数。复数是负数开方的结果，一元二次方程无解的时候不存在的根。
对科幻来说，复数是平行宇宙的复合。
对高中数学来说，复数是数域的进一步扩大。复数是高考数学小题中的保留节目。
对奥数来说，复数是二试平面几何证明题的一个解题方法，尤其适用于旋转或规则图形有关题目。
对物理来说，复数是电磁学中解决交流电等问题时代替三角函数的一种表述方式。
对一般人来说，负数是正数旋转180度，复数是旋转90度。
对哲学来说，复数是中国古典哲学中的阴阳，也是马克思主义哲学或高中政治选修四哲学科目中的物质与意识。物质决定意识，意识具有能动性。
其他网友回答：我们提到本质，就不能仅仅去回答复数有什么性质。
其本质是一个假设
虚数最早是这么来的，我们发现方程x*x=-1
居然是无解的。
于是发明了虚数。当然不是仅仅拍脑袋一想，这个发明，是经过了精心设计的。
具体妙在哪里其它一些答案有提，这里仅仅聊本质。我们通过假设这个方程有这么一个解，可以实际上帮助我们解决很多之前很难解决的问题。
而且这个假设毫无代价。因为只有在数学中我们才有虚数。回到具体问题，比如回到物理，我们不需要去在意x *x =-1的解究竟是什么，i 究竟是什么。因为他们只存在于数学中。
纯粹的数学通常比较抽象，这里我可以举个其他的，比较具体的例子。比如Higgs 上帝粒子里面的对称性自发破缺的第一步就是假设我们有某个负质量的粒子。负质量的东西谁也没见过，然后假定这粒子是没法观测的，于是拆成两部分。然后往后慢慢地引出Higgs。其实物理中太多这样的例子，对于我们无法观测到的区域我们可以看作黑箱子，里面我们可以随便假设，只要出来的结果是好的就行。对于那个负质量的粒子，我们不用在意它是什么，不用在意质量负数怎么去理解，因为它只活在黑箱子里，出来的东西是Higgs 这些实实在在的东西。
其他网友回答：虚数单位i，在初学时我们只道,i定义成根号-1。这样其实就只能说明i很虚。
但是如果我们首先考虑-1。-1首先可以定义成减去1。这没什么好说的。另一种是定义乘以-1，乘以-1的意思就是取相反数。如果按本质来说就是做个镜面对称。如果乘以-1再乘以-1就会等于乘以1，实际上就是镜像2次又变成原像。那么乘以i会是什么意思呢？那么我们想一想i的平方是-1，那么其4次方就是1。什么事情做四次是1，做2次是相反？现实生活中就是向右转或者向左转。
所以乘以i的意思就是旋转90度。那么a+bi是什么意思呢？b乘以i，就是b长度要转90度然后再和a长度合成。通俗说就是先向前走a步，再向右走b步的意思。这样就能用复数表示旋转任意角度了。这个角度一般称之为复数的幅角。
乘以a+bi的意思就是，说如果你之前的向前一步的大小和方向是1（看做向量），那么你乘好之后，你新的向前一步的大小和就是，向前a向右b步。其中一步就是向量1。而新的一步计做z1，如果你再乘以c+di，就是以z1的方向为向前的方向，z1的大小为1步的大小。向前跨c步向右跨d步。得到的结果就是z2。如果你在纸上画一下，就知道，复数相乘，就是模相乘，幅角相加。都不用三角公式证明。
进阶的说一下。如果没有复数，不断地乘以相同的数，只能得到要么不断变大，要么不断变小，要么永远不变。但是如果你不断乘以模为1的复数，你就会得到周期性的变化。
大家知道，e`ε当ε趋于0时，其值就越接近1+ε。如果我们认为这一性质同样在复数的模很小时成立。即e`iε当ε趋于0时，就是1+iε。那么e`iθ=lim（e`iε)`(θ/ε)=lim(1+iε)`（θ/ε）。
首先lim1+iε在模上的影响远小于在角度上的影响。也就是说我们可以认为，1+iε就是模不变，角度变化ε弧度。那么如果这一操作重复θ/ε遍后，就得到了绕了θ弧度的圆。
即，e`iθ=cosθ+i*sinθ。特别的，当θ=π时，有e'iπ=-1
这一证明过程并未用到泰勒展开。只用到了自然对数的性质，这一性质更可以堪称是自然对数的定义。即，lim（1+ε）'(1/ε)= e
其他网友回答：一个负数的平方根。这就是虚数，一个实数和一个虚数在一起的表达就叫复数，一个根本不存在的数，只适用于运算的过程。